Matematika Diskrit "Relasi"

TI Politala Matdis 1A

1. Pengertian Relasi

            Relasi adalah hubungan antara anggota suatu himpunan dengan anggota himpunan yang lain. Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah menghubungkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.

2. Sifat-Sifat Relasi

a. refleksif

            Suatu relasi R pada himpunan E disebut refleksif jika (e,e) ∈ R untuk setiap e ∈ E. Dan bisa disebut juga hubungan relasi R pada himpunan E diketahui tidak refleksif jika e ∈ E dan begitu pula jika (a,a) ∉ R.

Misal E = {1, 2, 3, 4}

dan sifat relasi R adalah kurang lebih yang dimisalkan himpunan E, jadi:

 R= { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4) }

Kelihatan bukan jika (1,1), (2,2), (3,3), (4,4) adalah bagian unsur dari R. Jika begiu R dinyatakan himpunan Refleksif.

b. Simentri dan anti simentri

          Suatu relasi R di himpuna E memiliki sifat simentri jika (e,f) ∈ R, jika setiap e, f ∈ E, jadi (e,f) ∈ R. Suatu relasi R pada himpunan E dikatakan tidak simentri jika (e,f) ∈ R sementara itu ( (e,f) ∉ R.

Contoh :

Misal R adalah sebuah relasi dihimpunan riil, yang dinyatakan oleh : e R f bila jika dan hanya jika e-f ∈ Y. memeriksa atau menyatakan relasi R memiliki sifat simentri. Misal e R f jadi (e-f) ∈ Y, sementara (f-e) ∈ Z. dan bila menyatakan seperti ini R memiliki sifat simentri.

c. Transitif

          Sebuah atau suatu relasi atau hubungan R pada himpunan E mempunyai sifat transitif bila:

(a,b) ∈ R dan (b,c) ∈ R, maka (a,c) ∈ R, untuk a, b, c ∈ A.

Misal E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dan relasi dapat diatikan bila e R f jikalau dan hanya bila e membagi f, dimana e, f ∈ E.

3. Macam-Macam Relasi

a. Relasi Biner

            Relasi biner adalah hasil kali 2 himpunan atau relasi yang menghubungkan 2 himpunan yang himpunan bagiannya tidak kosong. Relasi  biner ini yaitu sifat-sifatnya transitif, refleksif, dan simentris.

b. Relasi Ekivalen

            Relasi ekivalen adalah relasi yang memenuhi 3 sifat relasi yaitu reflektif, simentris dan transitif. Contoh:

B = {a, b, c, d} dan R = { (a, a), (a, b), (b,a), (b,b), (c,c), (c,d), (d,c), (d,d) }

c. Relasi Tolak Persial

            Relasi R pada himpunan S dikatakan relasi pengurutan parsial jika ia reflektif, tolak setangkup, dan menghantar. Contoh:

A = himpunan siswa SMP

R = relasi pada A

(a,b) R jika a sekelas dengan b.

Tentukan (A,R)?

R refleksif       : setap siswa SMP sekelas dengan dirinya sendiri

R tolak setangkup       : jika a sekelas dengan b, maka b pasti sekelas dengan a.

R penghantar   : jika a sekelas dengan b dan b sekelas dengan c, maka pastilah a sekelas dengan c.

d. Relasi representasi

1. representasi notasi: R ⊆ (A x B)

            Jika (a,b) ∈ R, maka dapat gunakan notasi a R b yang artinya a dihubungkan dengan b yang artinya a dihubngkan dengan b oleh R. Namun, jika (a,b) ∉ R, maka dapat gunaka notasi a Ꞧ b yang artinya  tidak dihubungkan dengan b oleh relasi R.

Misalkan P = {2,4,6} dan Q = {2,4,8,10,12,13}.

Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan :

(p,q) ∈ R jika p habis membagi q.

 maka kita peroleh

 R = {(2,2),(2,4),(2,8),(2,10),(2,12),(4,4),(4,8),(4,12),(6,12)}

2.Representari tabel

          Relasi dapat juga menggunakn tabel. Kolom pertama untuk menyatakan daerah asal , sedangkan kolom kedua untuk menyatakan daerah hasil.

Misal A= {2, 3} dan B = {4, 5, 7}

(A,B) ∈  R jika A habis membagi B.

R = { (2,4), (2,5), (2,7), (3,4), (3,5), (3,7) }

A	B
2	4
2	5
2	7
3	4
3	5
3	7

3. Representasi matriks

          Misal R adalah dari A= {2, 3} dan B = {4, 5, 7}, dengan kata lain, elemen matriks bernilai 1 jika dihubungkan dengan b, dan bernilai nol jika tidak dihubungkan dengan b. contoh:

                              

Sumber:

http://matdisglutton.blogspot.com/2012/09/relasi-matematika-diskrit.html

https://www.google.co.id/search?q=gambar+relasi+matrik&safe=strict&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwjrhNvH5ITeAhUGKY8KHSXtAtYQ_AUIDigB&biw=678&bih=647#imgrc=pavCizisqDb2uM:

Matematika Diskrit "Himpunan"

TI  Politala Matdis 1A

1. Pengertian Himpunan

            Himpunan adalah atau objek yang dapat didefinisikan denga jelas. Benda atau objek dalam himpunan disebut elemen atau anggota himpunan. Dari definisi tersebut, dapat diketahui objek yang termasuk anggota himpunan atau bukan.

Contoh himpunan:

•  Himpunan warna lampu lalu lintas, anggota himpunannya adalah merah, kuning, dan hijau.
• Himpunan bilangan prima kurang dari 10, anggota himpunannya adalah 2, 3, 5, dan 7.

Contoh bukan himpunan:

• Kumpulan baju-baju bagus.
• Kumpulan makanan enak.

Notasi himpunan dilambangkan menggunakan huruf capital (A,B…). Benda atau objek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis diantara tanda kurung kurawal{…}. Anggota suatu himpunan dinotasikan dengan (∈), sedangkan yang bukan anggota himpunan dinotasikan dengan (∉).

Banyak anggota himpunan dinyatakan dengan (n).

Contoh:

A adalah himpunan bilangan positif kurang dari 5.

Anggota himpunan bilangan positif kurang dari 5 adalah 1, 2, 3, dan 4.

Jadi, A={1, 2, 3, 4} dan n(A)= 4.

2. Operasi pada Himpunan

a. Irisan (∩)

          Irisan dari himpuna A dan B adalah himpunan yang setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan himpunan B.

Notasi : A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}

Misal A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {2, 3, 5,   7, 11} maka A ∩ B = {2, 3, 5}

b. Gabungan (U)      

          Gabungan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupaan anggota himpunan A atau himpuna B.

Notasi : A U B = { x | x ∈ A atau x ∈ B}.

Misal A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {2, 3, 5, 7, 11} maka, A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 11}

c. Komplemen

          Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta U adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen U yang bukan elemen A.

Notasi : A = { x | x ∈ U, tapi x ∉ A }

Misal U = {0,…….11} dan A = {1, 3, 5, 7} maka A = {0, 2, 4, 6, 8, 9, 10, 11}

d. Selisih

          Selisih dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya merupakan elemen A dan bukan ekemen B. Selisih antara A dan B dapat juga dikatakan sebagai komplemen himpunan B relatif terhadap himpunan A.

Notasi A – B = {x | x ∈  A dan x ∉ B = A ∩ B.

Misal A = { 1, 2, 3, 4, 5} dan B = {2, 3, 5, 7, 11} maka A – B = {1,4}

e. Beda Setangkup

          Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A dan B, tetapi tidak pada keduanya.

Notasi : A ⊕ B = (A U B) – (A ∩ B ) = (A-B) U (B-A)

Misal A = {2, 4, 6} dan B = {2, 3, 5} maka A ⊕ B = {3, 4, 5, 6}

f. Diagram Venn

          Diagram venn adalah diagram yang menunjukkan semua kemungkinan hubungan logika dan hipotesis di antara sekelompok benda atau objek.

          

Contoh soal:

Dalam penelitian yang dilakukan pada sekelompok orang, diperoleh data 68 orang sarapan dengan nasi, 50 orang sarapan dengan roti, dan 8 orang sarapan dengan nasi dan roti, sedangkan 35 orang sarapannya tidak dengan nasi ataupun roti. Hitung banyaknya orang dalam kelompok tersebut!

          Kita gunakan diagram venn untuk menjawab soal tersebut. Jika digambarkan dengan diagram venn maka gambarnya seperti gambar berikut ini.

3. Jenis-Jenis Himpunan

 a. Himpunan Kosong

          Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak  memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinalitas = 0 (nol) atau {}.

         

Contoh soal:

Bilangan ganjil kurang dari 11.

Jika :

Diketahui A = {2, 4, 6, 8}

                 B = {4, 6, 10}

Jawabannya adalah {}, karena ada himpunan A tidak terdapat bilangan ganjil.

b. Himpunan Subset

          Himpunan subset yaitu suatu himpunan A adalah himpunan bagian atau subset dari himpunan B, bila A termuat di dalam B. A dan B boleh jadi merupakan himpunan yang sama.

         

Contoh:

Himpunan A = {1, 2} adalah subset dari B = {1, 2, 3}, sehingga ekspresi A⊆B, keduanya benar.

c. Himpunan Kuasa

             Himpunan  kuasa dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan se,ua himpuna bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri. Notasi : P(A) atau 2A, jika |A| = m, maka |P(A)|  2m.

          

Contoh soal:

Jika A = {1,2} maka P(A) = { (1), (2), (1,2) }

d. Himpunan Ekivalen

          Himpunan A dikatakan dengan himpunan B jika dan hanya jika cardinal dari kedua himpunan sama. Notasi : A ~ B |A| = |B|.

          

Contoh:

A = {a, b, c} dan B = {2, 4, 6} maka A ~ B sebab |A| = |B|

Sumber:

http://erlangga.co.id/materi-belajar/smp/7855-pengertian-himpunan-.html

https://lintiyuni.wordpress.com/matematika-diskrit/himpunan/jenis-jenis-himpunan/

http://kangkunggenjer.blogspot.com/2015/05/himpunan-bagian-subset.html

https://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_bagian

Penarikan Kesimpulan, Aljabar boolean, Gerbang Logika.

TI Politala Matdis 1A

A. Penarikan Kesimpulan atau Argumen

Jika pernyataan atau proposisi dilambangkan dengan kalimat yang memiliki nilai benar saja atau salah saja, maka istilah sahih atau tidak sahih berkait dengan penarikan kesimpulan, penalaran, ataupun argumen.  Beda kedua istilah menurut Soekardijo (1988) adalah, kalau penalaran itu aktivitas pikiran yang abstrak maka argumen ialah lambangnya yang berbentuk bahasa atau bentuk-bentuk lambang lainnya. Dikenal dua macam penarikan kesimpulan. Yang pertama adalah induksi atau penalaran induktif dan yang kedua adalah deduksi atau penalaran deduktif. Yang akan dibicarakan pada blog ini adalah penalaran deduktif atau deduksi. Contoh deduksi atau penalaran deduktif adalah:

Premis 1: Semua manusia akan mati.

Premis 2: Amri manusia.

Kesimpulan: Jadi, Amri pada suatu saat akan mati.

Perhatikan contoh penarikan kesimpulan ini:

(1) Semarang terletak di sebelah barat Surabaya.

(2) Jakarta terletak di sebelah barat Semarang.

Jadi, Jakarta terletak di sebelah barat Surabaya.

Berikut adalah beberapa penarikan kesimpulan:

a. Ponens               

Perhatikan contoh berikut.

Premis 1: Semua manusia akan mati

Premis 2: Amri manusia.

Kesimpulan: Jadi, Amri pada suatu saat akan mati.

Premis 1 adalah senilai dengan: Jika x manusia maka x akan mati. Pada contoh ini, premis-premis yang bernilai benar tidak akan memungkinkan bagi kesimpulannya untuk bernilai salah, sehingga penarikan kesimpulan bentuk seperti itu disebut dengan penarikan kesimpulan sah, sahih, valid, atau correct.

Bentuk umumnya adalah:

p1        : p→q

p2        : p

            ⸫q

Untuk mengetahui validitas suatu argumen deduktif adalah dengan membentuk kondisional atau implikasi di mana konjungsi premis-premis dari argumen tersebut dijadikan   17sebagai antesedennya dan konklusi dari argumen tersebut dijadikan sebagai konsekuensinya.

Sebagai contoh, untuk mengetahui valid tidaknya argumen berikut:

p → q   (Premis 1)

p          (Premis 2)

Jadi q  (Kesimpulan)

adalah dengan membentuk konjungsi dari premis 1 dan 2, yaitu:

(p ⇒ q)  ∧ p lalu konjungsi tersebut diimplikasikan dengan konklusi argumen yang ada sehingga menjadi: (p ⇒ q) ∧ p ⇒ q.

           Bentuk terakhir ini harus dibuktikan melalui tabel kebenaran apakah termasuk tautologi atau tidak. Jika bentuk terakhir tadi merupakan tautologi maka argumen tadi valid. Jika tidak dihasilkan suatu tautologi maka argumen tadi tidak valid. Untuk tautology.

b. Tolens

Perhatikan contoh berikut.

Premis 1: Jika seseorang adalah siswa SMK maka ia pintar

Premis 2: Orang itu tidak pintar.

Kesimpulan: Orang itu bukan siswa SMK.

Pada contoh ini, premis-premis yang bernilai benar tidak memungkinkan bagi

kesimpulannya untuk bernilai salah juga, sehingga penarikan kesimpulan bentuk seperti itu disebut dengan penarikan kesimpulan sah, sahih, valid, atau correct. Bentuk umum modus tolens adalah:

p1        :p→q

p2        :~q

                ⸫~p

c. Silogisme

Perhatikan contoh ini.

(1) Rumah Amin  terletak di sebelah barat rumah Akbar.

(2) Rumah Akbar  terletak di sebelah barat rumah Abdur

Jadi, rumah Amin  terletak di sebelah barat rumah Abdur

Tentunya para siswa dan Anda sendiri tidak akan mengetahui apakah ketiga orang tersebut benar-benar memiliki rumah seperti yang dinyatakan kalimat tersebut. Tetapi Anda dapat menyatakan bahwa jika premis-premisnya bernilai benar maka kesimpulannya tidaklah mungkin bernilai salah, sehingga penarikan  kesimpulan seperti itu merupakan contoh penarikan kesimpulan yang sahih atau valid. Bentuk umum penarikan kesimpulan yang dikenal dengan nama silogisme itu adalah:

p1        :p→q

p2        :q→s

⸫p→s

B. Aljabar Boolean

            Aljabar Boolean merupakan operasi aritmatika padaa Boolean. Bilangann Boolean adalah bilangan hanya mengenal dua keadaan (False/True), atau bila di tuliskan dengan angka (0 atau 1). Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, harus di perlihatkan:

1. Elemen-elemen himpunan B

2. Kaidah operasi untuk operator biner dan operator uner

3. Memenuhi postulat Huntington

1. Kaidah untuk operator biner dan operator uner

a	b	a.b
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

a	b	a+b
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

2. Fungsi Boolean

            Fungsi Boolean disebut juga fungsi biner adalah pemetaan dari Bᶮ ke B melalui ekspresi Boolean. Dalam hal ini Bᶮ adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-n­ di dalam daerah asal B.

1.      Setiap ekspres Boolean tidak lain merupakan fungsi Boolean.

2.      Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah (f(x, y, z) Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3 (x, y, z) ke himpunan {0, 1}. Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z = 1 sehingga f(1, 0, 1) = 1 × 0 × 1 + 1’ × 0 + 0’× 1 = 0 + 0 + 1 = 1 .

Contoh aljabar Boolean:                          

      Diketahui fungsi Boolean f(x, y,z) nyatakan h dalam tabel kebenaran.

Penyelesaian :

x	y	z	f(x, y, z)
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	0

C. Gerbang Logika

            Gerbang Logika (Logic Gate) sebuah pemrosesan dasar yang berguna dalam memproses input-input berupa bilangan biner. Dengan kata lain gerbang logika beroperasi atau bekerja berdasarkan sistem bilangan biner, secara singkat sistem bilangan biner dapat diartikan sebagai jenis bilangan yang terdiri dari 2 kode angka yaitu "0" dan "1". 

a. Fungsi dan Kerja Gerbang Logika

            Secara sederhana, fungsi dari gerbang logika adalah mengubah satu atau beberapa sinyal input (masukan) menjadi sebuah sinyal output (keluaran). Terdapat sekitar 3 gerbang logika dasar yang berguna dalam membentuk sebuah rangkaian sistem elektronika digital.

1. Gerbang Logika NOT

2. Gerbang Logika AND

3. Gerbang Logika OR

b. Jenis Gerbang Logika

*Gerbang Logika AND

Gerbang AND atau disebut juga "AND GATE" adalah jenis gerbang logika yang memiliki dua input (Masukan) dan satu output (keluaran). Untuk lebih jelasnya perhatikan simbol dan tabel kebenaran gerbang AND berikut.

Pada gerbang logika AND, simbol yang menandakan operasi gerbang logika AND adalah tanda titik (.) atau bisa juga dengan tanpa tanda titik, contohnya seperti Z = X.Y atau Z = XY. Perhatikan tabel kebenaran gerbang AND. Cara cepat untuk mengingat tabelnya adalah dengan mengingat pernyataan berikut. "Gerbang AND akan menghasilkan output (keluaran) logika 1 bila semua variabel input (masukan) bernilai logika 1" sebalikanya "Gerbang AND akan menghasilkan keluaran logika 0 bila salah satu masukannya merupakan logika 0". Cukup mudah bukan.

* Gerbang Logika OR

            Gerbang OR atau disebut juga "OR GATE" adalah jenis gerbang logika yang memiliki dua input (Masukan) dan satu output (keluaran). Meskipun memiliki pengertian yang sama dengan gerbang OR tapi memiliki perbedaan pada simbol dan tabel kebenaran. Untuk lebih jelasnya perhatikan simbol dan tabel kebenaran gerbang OR berikut.

            Pada gerbang logika AND, simbol yang menandakan operasi gerbang logika AND adalah tanda tambah (+) , contohnya seperti Z = X + Y .Perhatikan tabel kebenaran gerbang OR. Cara cepat untuk mengingat tabelnya adalah dengan mengingat pernyataan berikut. "Gerbang AND akan menghasilkan output (keluaran) logika 0 bila semua variabel input (masukan) bernilai logika 0" sebalikanya "Gerbang AND akan menghasilkan keluaran logika 1 bila salah satu masukannya bernilai logika 1". Jangan sampai terbalik dengan pernyataan Gerbang AND.

* Gerbang Logika NOT

            Gerbang NOT atau disebut juga "NOT GATE" atau Inverter (Gerbang Pembalik) adalah jenis gerbang logika yang hanya memiliki satu input (Masukan) dan satu output (keluaran). Dikatakan Inverter (gerbang pembalik) karena gerbang ini akan menghasilkan nilai ouput yang berlawanan dengan nilai inputnya . Untuk lebih jelasnya perhatikan simbol dan tabel kebenaran gerbang NOT berikut.

Pada gerbang logika NOT, simbol yang menandakan operasi gerbang logika NOT adalah tanda minus (-) diatas variabel, perhatikan gambar diatas. Perhatikan tabel kebenaran gerbang NOT. Cara cepat untuk mengingat tabelnya adalah dengan mengingat pernyataan berikut. "Gerbang NOT akan menghasilkan output (keluaran) logika 1 bila variabel input (masukan) bernilai logika 0" sebalikanya "Gerbang NOT akan menghasilkan keluaran logika 0 bila input (masukan) bernilai logika 1". 

Sumber:

http://matdis06141.blogspot.com/2012/10/aljabar-boolean_12.html

https://lenosa.wordpress.com/2013/04/29/logika-matematika-penarikan-kesimpulan/

http://webstudi.blogspot.com/2017/05/gerbang-logika.html