Matematika Diskrit "Relasi"

TI Politala Matdis 1A

1. Pengertian Relasi

            Relasi adalah hubungan antara anggota suatu himpunan dengan anggota himpunan yang lain. Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah menghubungkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.

2. Sifat-Sifat Relasi

a. refleksif

            Suatu relasi R pada himpunan E disebut refleksif jika (e,e) ∈ R untuk setiap e ∈ E. Dan bisa disebut juga hubungan relasi R pada himpunan E diketahui tidak refleksif jika e ∈ E dan begitu pula jika (a,a) ∉ R.

Misal E = {1, 2, 3, 4}

dan sifat relasi R adalah kurang lebih yang dimisalkan himpunan E, jadi:

 R= { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4) }

Kelihatan bukan jika (1,1), (2,2), (3,3), (4,4) adalah bagian unsur dari R. Jika begiu R dinyatakan himpunan Refleksif.

b. Simentri dan anti simentri

          Suatu relasi R di himpuna E memiliki sifat simentri jika (e,f) ∈ R, jika setiap e, f ∈ E, jadi (e,f) ∈ R. Suatu relasi R pada himpunan E dikatakan tidak simentri jika (e,f) ∈ R sementara itu ( (e,f) ∉ R.

Contoh :

Misal R adalah sebuah relasi dihimpunan riil, yang dinyatakan oleh : e R f bila jika dan hanya jika e-f ∈ Y. memeriksa atau menyatakan relasi R memiliki sifat simentri. Misal e R f jadi (e-f) ∈ Y, sementara (f-e) ∈ Z. dan bila menyatakan seperti ini R memiliki sifat simentri.

c. Transitif

          Sebuah atau suatu relasi atau hubungan R pada himpunan E mempunyai sifat transitif bila:

(a,b) ∈ R dan (b,c) ∈ R, maka (a,c) ∈ R, untuk a, b, c ∈ A.

Misal E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dan relasi dapat diatikan bila e R f jikalau dan hanya bila e membagi f, dimana e, f ∈ E.

3. Macam-Macam Relasi

a. Relasi Biner

            Relasi biner adalah hasil kali 2 himpunan atau relasi yang menghubungkan 2 himpunan yang himpunan bagiannya tidak kosong. Relasi  biner ini yaitu sifat-sifatnya transitif, refleksif, dan simentris.

b. Relasi Ekivalen

            Relasi ekivalen adalah relasi yang memenuhi 3 sifat relasi yaitu reflektif, simentris dan transitif. Contoh:

B = {a, b, c, d} dan R = { (a, a), (a, b), (b,a), (b,b), (c,c), (c,d), (d,c), (d,d) }

c. Relasi Tolak Persial

            Relasi R pada himpunan S dikatakan relasi pengurutan parsial jika ia reflektif, tolak setangkup, dan menghantar. Contoh:

A = himpunan siswa SMP

R = relasi pada A

(a,b) R jika a sekelas dengan b.

Tentukan (A,R)?

R refleksif       : setap siswa SMP sekelas dengan dirinya sendiri

R tolak setangkup       : jika a sekelas dengan b, maka b pasti sekelas dengan a.

R penghantar   : jika a sekelas dengan b dan b sekelas dengan c, maka pastilah a sekelas dengan c.

d. Relasi representasi

1. representasi notasi: R ⊆ (A x B)

            Jika (a,b) ∈ R, maka dapat gunakan notasi a R b yang artinya a dihubungkan dengan b yang artinya a dihubngkan dengan b oleh R. Namun, jika (a,b) ∉ R, maka dapat gunaka notasi a Ꞧ b yang artinya  tidak dihubungkan dengan b oleh relasi R.

Misalkan P = {2,4,6} dan Q = {2,4,8,10,12,13}.

Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan :

(p,q) ∈ R jika p habis membagi q.

 maka kita peroleh

 R = {(2,2),(2,4),(2,8),(2,10),(2,12),(4,4),(4,8),(4,12),(6,12)}

2.Representari tabel

          Relasi dapat juga menggunakn tabel. Kolom pertama untuk menyatakan daerah asal , sedangkan kolom kedua untuk menyatakan daerah hasil.

Misal A= {2, 3} dan B = {4, 5, 7}

(A,B) ∈  R jika A habis membagi B.

R = { (2,4), (2,5), (2,7), (3,4), (3,5), (3,7) }

A	B
2	4
2	5
2	7
3	4
3	5
3	7

3. Representasi matriks

          Misal R adalah dari A= {2, 3} dan B = {4, 5, 7}, dengan kata lain, elemen matriks bernilai 1 jika dihubungkan dengan b, dan bernilai nol jika tidak dihubungkan dengan b. contoh:

                              

Sumber:

http://matdisglutton.blogspot.com/2012/09/relasi-matematika-diskrit.html

https://www.google.co.id/search?q=gambar+relasi+matrik&safe=strict&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwjrhNvH5ITeAhUGKY8KHSXtAtYQ_AUIDigB&biw=678&bih=647#imgrc=pavCizisqDb2uM:

Matematika Diskrit "Himpunan"

TI  Politala Matdis 1A

1. Pengertian Himpunan

            Himpunan adalah atau objek yang dapat didefinisikan denga jelas. Benda atau objek dalam himpunan disebut elemen atau anggota himpunan. Dari definisi tersebut, dapat diketahui objek yang termasuk anggota himpunan atau bukan.

Contoh himpunan:

•  Himpunan warna lampu lalu lintas, anggota himpunannya adalah merah, kuning, dan hijau.
• Himpunan bilangan prima kurang dari 10, anggota himpunannya adalah 2, 3, 5, dan 7.

Contoh bukan himpunan:

• Kumpulan baju-baju bagus.
• Kumpulan makanan enak.

Notasi himpunan dilambangkan menggunakan huruf capital (A,B…). Benda atau objek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis diantara tanda kurung kurawal{…}. Anggota suatu himpunan dinotasikan dengan (∈), sedangkan yang bukan anggota himpunan dinotasikan dengan (∉).

Banyak anggota himpunan dinyatakan dengan (n).

Contoh:

A adalah himpunan bilangan positif kurang dari 5.

Anggota himpunan bilangan positif kurang dari 5 adalah 1, 2, 3, dan 4.

Jadi, A={1, 2, 3, 4} dan n(A)= 4.

2. Operasi pada Himpunan

a. Irisan (∩)

          Irisan dari himpuna A dan B adalah himpunan yang setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan himpunan B.

Notasi : A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}

Misal A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {2, 3, 5,   7, 11} maka A ∩ B = {2, 3, 5}

b. Gabungan (U)      

          Gabungan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupaan anggota himpunan A atau himpuna B.

Notasi : A U B = { x | x ∈ A atau x ∈ B}.

Misal A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {2, 3, 5, 7, 11} maka, A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 11}

c. Komplemen

          Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta U adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen U yang bukan elemen A.

Notasi : A = { x | x ∈ U, tapi x ∉ A }

Misal U = {0,…….11} dan A = {1, 3, 5, 7} maka A = {0, 2, 4, 6, 8, 9, 10, 11}

d. Selisih

          Selisih dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya merupakan elemen A dan bukan ekemen B. Selisih antara A dan B dapat juga dikatakan sebagai komplemen himpunan B relatif terhadap himpunan A.

Notasi A – B = {x | x ∈  A dan x ∉ B = A ∩ B.

Misal A = { 1, 2, 3, 4, 5} dan B = {2, 3, 5, 7, 11} maka A – B = {1,4}

e. Beda Setangkup

          Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A dan B, tetapi tidak pada keduanya.

Notasi : A ⊕ B = (A U B) – (A ∩ B ) = (A-B) U (B-A)

Misal A = {2, 4, 6} dan B = {2, 3, 5} maka A ⊕ B = {3, 4, 5, 6}

f. Diagram Venn

          Diagram venn adalah diagram yang menunjukkan semua kemungkinan hubungan logika dan hipotesis di antara sekelompok benda atau objek.

          

Contoh soal:

Dalam penelitian yang dilakukan pada sekelompok orang, diperoleh data 68 orang sarapan dengan nasi, 50 orang sarapan dengan roti, dan 8 orang sarapan dengan nasi dan roti, sedangkan 35 orang sarapannya tidak dengan nasi ataupun roti. Hitung banyaknya orang dalam kelompok tersebut!

          Kita gunakan diagram venn untuk menjawab soal tersebut. Jika digambarkan dengan diagram venn maka gambarnya seperti gambar berikut ini.

3. Jenis-Jenis Himpunan

 a. Himpunan Kosong

          Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak  memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinalitas = 0 (nol) atau {}.

         

Contoh soal:

Bilangan ganjil kurang dari 11.

Jika :

Diketahui A = {2, 4, 6, 8}

                 B = {4, 6, 10}

Jawabannya adalah {}, karena ada himpunan A tidak terdapat bilangan ganjil.

b. Himpunan Subset

          Himpunan subset yaitu suatu himpunan A adalah himpunan bagian atau subset dari himpunan B, bila A termuat di dalam B. A dan B boleh jadi merupakan himpunan yang sama.

         

Contoh:

Himpunan A = {1, 2} adalah subset dari B = {1, 2, 3}, sehingga ekspresi A⊆B, keduanya benar.

c. Himpunan Kuasa

             Himpunan  kuasa dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan se,ua himpuna bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri. Notasi : P(A) atau 2A, jika |A| = m, maka |P(A)|  2m.

          

Contoh soal:

Jika A = {1,2} maka P(A) = { (1), (2), (1,2) }

d. Himpunan Ekivalen

          Himpunan A dikatakan dengan himpunan B jika dan hanya jika cardinal dari kedua himpunan sama. Notasi : A ~ B |A| = |B|.

          

Contoh:

A = {a, b, c} dan B = {2, 4, 6} maka A ~ B sebab |A| = |B|

Sumber:

http://erlangga.co.id/materi-belajar/smp/7855-pengertian-himpunan-.html

https://lintiyuni.wordpress.com/matematika-diskrit/himpunan/jenis-jenis-himpunan/

http://kangkunggenjer.blogspot.com/2015/05/himpunan-bagian-subset.html

https://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_bagian