KATA PENGANTAR
Segala puji syukur penulis panjatkan atas kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, yang senantiasa melimpahkan rahmat-Nya
sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah yang berjudul “Logika
Matematika” ini tepat pada waktunya.
Penulis sadar bahwa dalam penulisan karya ilmiah ini masih jauh dari kata
sempurna, Oleh karena itu penulis berharap kritik dan saran dari pembaca yang
bersifat membangun agar dalam penulisan selanjutnya bisa lebih baik lagi.
Pelaihari, 11 September 2018.
Penulis
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Logika berkembang sejak zaman Yunani sampai sekarang dan muncul berbagai
jenis logika. Ada tiga macam logika yaitu
formal logic, metalogic, dan applied logic (The new
Encyclopedia Britanica, 1982). Formal
logic merupakan ilmu yang mempelajari bentuk-bentuk pemikiran (Bagus,
2002), metalogic mengkaji
aturan-aturan logika dan basisnya adalah formal, sistem formal dan
interpretasinya, dan applied logic atau
logika terapan membahas seni penerapan dari penalaran yang benar.
Logika matematika merupakan suatu bagian dari logika dan matematika.
Pengertian logika matematika ini yang diteliti dalam disertasi ini. Logika
merupakan masa muda dari matematika, dan matematika merupakan masa dewasa dari
logika (Russell, 1956). Logika matematika merupakan hasil penerapan
metode-metode matematika yang formal dalam bidang logika, penelitian logis
terhadap penalaran dan bukti matematis.
Banyak orang yang tidak mengenal matematika dan banyak orang yang salah
paham terhadap matematika, tetapi banyak juga orang yang kagum terhadap
matematika. Perasaan kagum dan rasa ingin tahu terhadap matematika memunculkan
pertanyaan-pertanyaan tentang hakikat matematika, ruang lingkup matematika, dan
kegunaan matematika. Oleh karena itu, logika matematika ini diangkat dalam
penulisan karya ilmiah yaitu untuk memberi ilmu pengetahuan dan menambah
wawasan terbaru bagi penulis maupun pembaca.
1.2 Rumusan Masalah
Rumusan masalah pada karya ilmiah
ini sebagai berikut:
1. Bagaimana proposisi matematika
logika?
2. Bagaimana operator matematika
logika?
3. Bagaimana tabel kebenaran
matematika logika?
4. Bagaimana pernyataan majemuk
matematika logika?
1.3 Tujuan dan Manfaat
Tujuan dari karya ilmiah matematika logika ini untuk memberikan
penjelasan tentang proposisi, operator, tabel kebenaran, dan kalimat majemuk,
serta memberikam informasi bagi pembaca sebagai ilmu pengetahuan dan diharapkan
karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi pembaca.
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Proposisi Matematika Logika
Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak dapat sekaligus keduanya. Kebenaran atau
kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai kebenarannya (true value). Tiga buah contoh berikut ini dapat mengilustrasikan
kalimat mana yang merupakan proposisi dan mana yang bukan.
Contoh 1
Kalimat-kalimat
berikut ini:
a. 6 adalah
bilangan genap.
b. Soekarnno
adalah Presiden Indonesia yang pertama.
c. Ibukota
Kalimantan Selatan adalah Banjarbaru.
d. Dia orang
yang baik.
e. Pemuda itu
tinggi.
Semuanya merupakan proposisi, proposisi a dan b bernilai benar, tetapi
proposisi c salah karena Ibukota Kalimantan Selatan seharusnya adalah
Banjarmasin. Pada bagian d dan e memang tidak dapat langsung ditetapkan
kebenarannya, namun satu hal yang pasti d dan e tersebut tidak mungkin benar
atau salah sekaligus. Kita bisa menetapkan nilai proposisi tesebut benar atau
salah. Misalnya, d bisa kita andaikan benar (Dia orang yang baik), namun bisa
juga kita andaikan bernilai salah (Dia orang yang tidak baik) atau bisa disebut
dengan kata lain bagian d dan e merupakan bukan proposisi karena nilai
kebenaran atau kesalahan tidak dapat di tentukan.
Contoh 2
Kalimat-kalimat
berikut ini:
a. Jam berapa
kereta api Argo Bromo tiba di Gambir?
b. Serahkan
uangmu sekarang!
c. x + 3 = 8
d. x > 3
Bukan proposisi, kalimat a adalah kalimat tanya, sedangkan kalimat b
adalah kalimat perintah, keduanya tidak mempunyai nilai kebenaran. Dari contoh
1 dan 2 di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa proposisi selalu ditanyakan
sebagai kalimat berita, bukan sebagai kalimat tanya maupun kalimat perintah.
Kalimat c dan d bukan proposisi karena kedua kalimat tersebut tidak dapat
ditentukan benar maupun salah sebab keduanya mengandung peubah (variable) yang tidak dispesifikasikan
nilainya.
2.2 Operator Matematika Logika
Operator dalam matematika yaitu
menggabungkan pernyataan-pernyataan tunggal yang menghasilkan pernyataan
majemuk. Operator-operator yang dapat kita temui berupa kata sambung logika.
Berikut adalah operator dalam matematika logika:
1. Negasi atau
Ingkaran
Negasi atau ingkaran dari suatu
pernyataan lain yang diperole dengan menambahkan kata “tidak” atau menyisipkan
dengan kata “bukan” pada pernyataan semula. Negasi atau ingkaran dari suatu
pernyataan p disajikan dengan lambang –p atau ~p dan dibaca “bukan p”. Bila
pernyataan p benilai benar, maka negasi bernilai salah dan sebaliknya.
p
|
~p
|
B
|
S
|
S
|
B
|
Contoh:
P : Jakarta Ibukota negara Republik
Indonesia.
~p : Jakarta bukan Ibukota Negara Republik
Indonesia.
2. Konjungsi (˄)
Suatu
pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan
tunggal dengan memakai kata sambung “dan” disebut konjungsi. Operator konjungsi
dilambangkan dengan “˄”.
P
|
q
|
p˄q
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
3. Disjungsi (˅)
Suatu pernyataan majemuk
yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai
kata sambung “atau” disebut disjungsi. Operator disjungsi dilambangkan denan ” ˅”. Disjungsi terbagi menjadi
dua yaitu:
a. Disjungsi
inklusif
P
|
q
|
p˅q
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
b. Disjungsi
eksklusif
P
|
q
|
p˅q
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
4. Implikasi (→)
Suatu pernyataan majemuk yang
dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata
sambung “Jika…Maka…” disebut implikasi. Operator implikasi dilambangkan dengan
“→”.
P
|
q
|
p→q
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
5. Biimplikasi (↔)
Suatu
pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan
tunggal dengan memakai kata sambung “…jika dan hanya jika…” disebut
biimplikasi. Operator biimplikasi dilambangkan dengan “↔”.
P
|
q
|
p↔q
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
2.3 Tabel Kebenaran
Satu cara yang praktis untuk
menentukan nilai kebenaran proposisi majemuk adalah menggunakan tabel kebenaran
(truth table). Tabel kebenaran
menampilkan hubungan antara nilai kebenaran dari proposisi atomic.
Tabel kebenaran
dari proposisi:
a. (p ˄ q) ˅ (~q ˄ r)
b. ~ (~p → q)
c. (p→q) ˄ ~(p ˅ q)
Penyelesaian:
a. (p ˄ q) ˅ (~q ˄ r)
p
|
q
|
r
|
~q
|
p˄q
|
~q˄r
|
(p˄q)˅(~q˄r)
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
b. ~ (~p → q)
P
|
q
|
~p
|
(~p→q)
|
~(~p→q)
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
c. (p→q) ˄ ~(p ˅ q)
P
|
q
|
p→q
|
p˅q
|
~(p˅q)
|
(p→q)˄~(p˅q)
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
2.4 Bentuk-Bentuk Pernyataan Majemuk
Bentuk-bentuk
pernyataan dalam logika dapat dibedakan sebagai berikut:
1.
Kontradiksi, suatu bentuk pernyataan majemuk
yang nilai kebenarannya salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran
dari komponen-komponennya.
2.
Tautologi, suatu bentuk pernyataan majemuk yang
nilai kebenarannya benar dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari
komponen-komponennya.
3.
Kontingensi, suatu bentuk pernyataa majemuk yang
bukan kontradiksi maupun tautology.
4.
Ekivalen, dua atau lebih pernyataan majemuk yang
memiliki nilai kebenaran yang sama. Pernyataan yang ekivalen dinotasikan dengan
“≡”.
Contoh:
1. ( (p˅q) ˄~p ) ˄~q
p
|
q
|
~p
|
~q
|
(p˅q)
|
(p˅q)˄~p
|
(
(p˅q)˄~p ) ˄~q
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
Jika hasilnya
salah semua disebut dengan “kontradiksi”.
2. (p˄q)→(r˅ (~q→~r) )
p
|
q
|
r
|
~q
|
~r
|
p˄q
|
~q→~r
|
r˅
(~q→~r)
|
(p˄q)→(r˅
(~q→~r) )
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
B
|
Jika hasilnya benar semua disebut
dengan “tautologi”.
3. ( (p→q) ) ˄
(~q→r) ) → (~r→p)
p
|
q
|
r
|
~q
|
~r
|
p→q
|
~q→r
|
~r→p
|
(p→q)
) ˄ (~q→r)
|
(
(p→q) ) ˄ (~q→r)
) → (~r→p)
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
Jika ada hasil yang salah disebut
dengan “kontingensi”.
4. (p↔q) ≡ (p→q) ˄ (q→p)
p
|
q
|
p↔q
|
p→q
|
q→p
|
≡(p→q)
˄ (q→p)
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
Jika hasil kebenarannya sama persis disebut dengan “ekivalen”
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Logika berkembang sejak
zaman Yunani sampai sekarang dan muncul berbagai jenis logika. Ada tiga macam
logika yaitu formal logic, metalogic,
dan applied logic (The new Encyclopedia Britanica, 1982).
Logika matematika merupakan hasil penerapan metode-metode matematika yang
formal dalam bidang logika, penelitian logis terhadap penalaran dan bukti
matematis.
Proposisi adalah kalimat deklaratif
yang bernilai benar (true) atau salah
(false), tetapi tidak dapat sekaligus
keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai
kebenarannya (true value). Operator
dalam matematika yaitu menggabungkan pernyataan-pernyataan tunggal yang
menghasilkan pernyataan majemuk. Bentuk-bentuk pernyataan majemuk ada empat
yaitu kontradiksi, tautologi, kontingensi, dan ekivalen.
3.2 Saran
Demikianlah tugas karya
ilmah ini penulis buat, semoga karya ilmiah ini dapat di gunakan bagi pembaca sebagai ilmu yang bermanfaat. Karya
ilmiah ini masih jauh dari kata sempurna, untuk itu penulis berharap agar
pembaca dapat memberikan kritik dan saran yang bersifat membangun dalam
penulisan karya ilmiah ini agar penulis dapat menyelesaikan tugas lebih baik
selanjutnya.
DAFTAR PUSTAKA
Gibbons, Alan, Algoritmic Graph Theory, Cambridge University
Press, 1985.
Mangelap, N. (2009, Januari 9). Operator logika.
Retrieved from ruangguru: https//www.ruangguru.com
